ある生物（例：藍藻）の指数成長を研究するとき、成長率が $6.25\%$ の場合、$x$ 日後の個体数は $y = (1+6.25\%)^x$ で表されます。では、もし $x$ が整数でない場合（たとえば $1.5$ 日）にもこの式は意味を持つでしょうか？この問いに答えるためには、指数の定義を整数から有理数、さらには実数まで拡張する必要があります。これが数の体系の拡張の必然的な要請です。
$n$ 次根と分数指数
$n$ 次根の定義： 一般的に、$x^n = a$ となるとき、$x$ を $a$ の $n$ 次根と呼びます。ここで $n > 1$ かつ $n \in \mathbf{N}^*$ です。式 $\sqrt[n]{a}$ を根式といいます。
分数指数： 演算の性質を統一するために、正の数の正の分数指数は次のように定めます：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$（$a > 0$）。これにより、すべての根式をべき乗の形に変換して計算できるようになります。
根式とは、べき演算が分数次元における表現です。分数指数を定義することで、根号と指数との間の境界を解消し、演算の性質を統一することができます。
$$(\sqrt[n]{a})^n = a, \quad \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} \quad (b > 0)$$